Pertumbuhan bunga tunggal, majemuk, anuitas dan contoh soal

Bunga Tunggal

Bunga tunggal adalah bunga yang diberikan berdasarkan perhitungan modal awal, sehingga bunga hanya memiliki satu variasi saja (tetap) dari awal periode sampai akhir periode. Contohnya saat menabung di bank, kita akan mendapatkan bunga yang tetap tiap-tiap periode.
Jika modal awal sebesar M_0 mendapat bunga tunggal sebesar b (dalam persentase) per bulan, maka setelah n bulan besar modalnya M_n menjadi:
M_n = M_0(1+n \cdot b)

Bunga Majemuk
Bunga majemuk adalah bunga yang diberikan berdasarkan modal awal dan akumulasi bunga pada periode sebelumnya.Bunga majemuk memiliki banyak variasi dan selalu berubah (tidak tetap) pada tiap-tiap periode. Contohnya saat menjual sebuah kendaraan, harga kendaraan yang dijualakan berubah setiap periode dan perubahannya bervariasi.
Jika modal awal sebesar M_0 mendapat bunga majemuk sebesar b (dalam persentase) perbulan, maka setelah n bulan besar modalnya M_n menjadi:
M_n = M_0(1+b)^n

Anuitas
Anuitas adalah rangkaian pembayaran atau penerimaan yang sama jumlahnya dan harus dibayarkan atau yang harus diterima pada tiap akhir periode atas sebuah pinjaman atau kredit. Jika suatu pinjaman akan dikembalikan secara anuitas, maka ada tiga komponen yang menjadi dasar perhitungan yaitu:
Besar pinjaman
Besar bunga
Jangka waktu dan jumlah periode pembayaran
Anuitas yang diberikan secara tetap pada setiap akhir periode mempunyai dua fungsi yaitu membayar bunga atas hutang dan mengangsur hutang itu sendiri. Sehingga konsepnya :
Anuitas = Bunga\ atas\ hutang\ + Angsuran\ hutang

Contoh Soal Bunga Tunggal/Majemuk/Anuitas dan Pembahasan
1. Contoh Soal Bunga Majemuk
Modal sebesar Rp10.000.000,00 dipinjamkan dengan bunga majemuk 2% per tahun. Pada permulaan tahun ketiga, modal itu menjadi?
Pembahasan
M_n = M_0(1+b)^n
M_0 = 10.000.000(1 + 0,02)^2 (n = 2, karena awal tahun ke-3 sama dengan akhir tahun ke-2)
M_n = 10.000.000(1,02)^2
M_n = 10.404.000,00

2. Contoh Soal Anuitas
Sebuah pinjaman sebesar Rp20.000.000,00 akan dilunasi secara anuitas tahunan sebesar Rp4.000.000,00. Jika suku bunga 5% per tahun, besar angsuran, bunga, dan sisa hutang tahun ketiga adalah?
Pembahasan
Angsuran
A_n = (1+b)^{n-1}(A - bM)
A_n = (1+0,05)^{3-1}(4.000.000 - (0,05)20.000.000)
A_n = (1,05)^2(4.000.000 - 1.000.000)
A_n = (1,1025)(3.000.000)
A_n = 3.307.500,00
Bunga
B_n = (1+b)^{n-1}(b.M - A) + A
B_n = (1+0.05)^{3-1}(0.05 \times 20.000.000 - 4.000.000) + 4.000.000
B_n = (1,05)^2(-3.000.000) + 4.000.000 = -3.307.500 + 4.000.000
B_n = 692.500,00
Sisa hutang
M_n = (1+b)^n(M - \frac{A}{b}) + \frac{A}{b}
M_n = (1 + 0.05)^3(20.000.000 - \frac{4.000.000}{0.05})+ \frac{4.000.000}{0.05}
M_n = (1.157625)(-60.000.000) + 80.000.000
M_n = 10.542.500,00

3. Contoh Soal Anuitas
Sebuah pinjaman sebesar Rp850.000.000,00 yang harus dilunasi dengan 6 anuitas jika dasar bunga 4% per bulan dan pembayaran pertama dilakukan setelah sebulan. Sisa hutang pada akhir bulan kelima adalah?
Pembahasan
A = \frac{b(M_0)(1+b)^n}{(1+b)^n-1}
A = \frac{(0,04)(850.000.000)(1+0,04)^6}{(1+0,04)^6-1}
A = \frac{(0,04)(850.000.000)(1,04)^6}{(1,04)^6-1}
A = \frac{43.020.846,63}{0,2265319}
A = 162.147.628,43
Sisa hutang pada akhir periode ke-5 adalah
M_n = (1+b)^n(M - \frac{A}{b} + \frac{A}{b})
M_n = (1 + 0,04)^5(850.000.000 - \frac{162.147.628,43}{0,04}) + \frac{162.147.628,43}{0,04}
M_n = (1,04)^5(850.000.000 - \frac{162.147.628,43}{0,04}) + \frac{162.147.628,43}{0,04}
M_n = 155.911.109,00