soal dan pembahasan PAS

 

Nhala N Aulia Putri (32)

X MIPA 1

Pembahasan soal PAS

1. Grafik fungsi f(x) = k.2^5x-8 melalui titik (2,20) nilai -3k adalah

    20 = k.2^5(2)-8                                                           

     20 = k.2²

   20/4 = k

   5 = k

   -3k = -3 (5) = -15

2. Fungsi yg sesuai dengan grafik berikut adalah

     Y = a.b^x + asimkot → (1,3) (0,2) (2,5)

          3 = a.b+c                                   

          3 = 1.b+1                                       

          3 = b+1                                             

          B = 2

          2 = a.b+c

          2 = a+1

          a = 1 

          a = 1 b = 1 c =1

          y = 1.2^x+c

          y = 2^x+1

3. Penyelesaian persamaan √8^x2-4x+3 = 1/32^x-1

    √2^3x2-12x+9 = 2^-5x+5                                            

    3x²-12x+9/2 = -5x+5                                                    

    3x²-12x+9 = -10x+10                                                    

    3x²-2x-1 = 0

    (3x+1) (x-1)

     X = -1/3(q)    x = 1 (p)

     p + 6q = 1 + 6 (-1/3)

     1-2 = -1

4. Penyelesaian persamaan (2x-1)⁸ = (-2+x)⁸ adalah

    2x-1 = -2+x                                                     

    2x-x = -2+1                                       

    X = -1                                                 

    Atau 2x-1 = 2-x                                                 

    2x+x = 2+1

    3x = 3

    x = 1

    Hp {-1,1}

5. Tentukan penyelesaian dari (2/3)^x = 6^1-x

     log 2/3^x = log 6^1-x                                                 

     x. log 2/3 = 1-x . log 6                       

     log 2/3 / log 6 = 1-x/x                       

     ⁶ log 2/3 = 1/x – 1                              

        ⁶ log 2/3 +1 = 1/x

     ⁶ log 2/3 + ⁶ log 6 = 1/x

      ⁶ log (2/3.6) = 1/x

      ⁶ log 4 = 1/x

       1/⁶ log 4 = x

       X = ⁴ log 6

6. Himpunan penyelesaian dari persamaan (2x-3)^x2-2x = (2x-3)^x+4 adalah

     (2x-3)^x2-2x = (2x-3)^x+4              

    X²-2x = x+4

       x²-3x-4 = 0

    (x-4)  (x+1)

    X = 4    x = -1

    Hp {-1,4}

7. Himpunan penyelesaian dari (2x-3)^x-1 = 1 adalah (x1,x2,x3) nilai dari x1+x2+x3 adalah

    (2x-3) ^x+1 = 1                    

    X+1 = 0    x1

    X= -1

   2x-3 =1     x2

   X = 2

   2x-3 = -1    x3

   X = 1

   (x1+x2+x3) = (-1+2+1) = 2

8. Bila x1 dan xw penyelesaian dari persamaan 2^2x-6 . 2^x+1 + 32 = 0 dan x1>x2 maka nilai 2x1+x2 adalah

    Misal 2^x=a                                              

    Maka (2^x)² -12 (2^x)+32 = 0                  

    A²-12a+32 = 0                                         

    (a-8) (a-4)                                                

    a = 8      a = 4

    2^x = 8    → x1 = 3 

    2^x = 4    → x2 = 2   

    2x1 + x2 = 2(3) + 2  = 6 + 2 =8

    9. Akar2 persamaan 3^2x+1-28.3^x+9 = 0 adalah x1  dan x2. Jika x1>x2 maka nilai dari 3x1-x2 adalah

     3^2x.3¹-28.3^x+9 = 0                                  

    (3^x)².3-28.3^x+9 = 0                                 

    (3.3^x-1) (3^x-9) = 0                                          

     3^x = 9

3^x = 3-1

x = -1

3^x = 3²

x = 2

x1 > x2

2 > -1

3x1-x2 = 3(2) – (-1) = 6+1=7

10. Jumlah akar2 persamaan 5^2x+1-26 . 5^x+5 = 0 adalah

       5^2x+1-26.5^x+5 = 0                                    

       5^2x.5-26.5^x+5 = 0          

       Missal 5^x = a                  

       5a²-26a+5 = 0                

       (5a-1) (a-5)

       A = 1\5   a 5

       5^x = 1/5

        5^x = 5^-1

           5^x = 5

        5^x = 5¹

            -1 + 1 = 0

11. Jika 5^x2-2x-4 > 5^3x+2, maka nilai x yg memenuhi adalah

       5^{x2 – 2x-4} > 5^3x+2

       X²-2x-4 > 3x+2

       X²-5x-6 > 0

       (x-6)   (x+1)

        X = 6     x = -1

12. Tentukan himpunan penyelesaian dari (1/2)^2x-5 < (1/4)^1/2x+1

       (1/2)^2x-5 < (1/4) ^1/2x+1

           (2^-1)^2x-5 < (2^-2)^1/2x+1

            2^-2x+5 <2^-x-2

       -2x+5 < -x-2

        -x < -7

         X > 7

13. Penduduk kota A berjumlah 1 juta jiwa pada awal tahun 2000. Tingkat pertumbuhan penduduk per tahun adalah 4% hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada awal tahun 2003!

      awal tahun 2000 → 1.000.000

      Pertumbuhan penduduk → 4 % = 0,04

     2003 = 1.000.000 ( 1+0,04)³

                   1.124.864

14. Pada pukul 08.00 massa suatu zat radioaktif adalah 0,5 kg. Apabila laju peluruhan zat radioaktif tersebut 2% setiap jam, hitunglah sisa zat radioaktif pada pukul 10.00!

      Po = 0,5 kg                                                

      P = 2/100 = 0,02                                                 

            T = 10,00 – 08,00 = 2jam

       Pt = Po (1-p)^t

          P2 = 0,5 ( 1-0,02)²

          0,5 (0,98)² = 0,4802

15.  Tentukan himpunan penyelesaian dari 5^x+2 < 4^x

        5^x+2 < 4^x  → log.5^x+2 < log.4^x

                            (x+2).log 5 < (x).log 4

                            X+2/x < log 4/log 5

                                < ⁵ log 4

                                +    < ⁵ log 4

                           1 +  < ⁵ log 4

                            < ⁵ log 4-1

                            < ⁵ log 4 – 5 log 5

                           < ⁵ log (4/5)

                          X > 2/5 log (4/5)

                          X > (4/5) ^-1 log (25)^-1

                         X > 5/4 log 1/25

16. Tentukan himpunan penyelesaian dari (x-4)^4x < (x-4)^1+3x

       (x-4)^4x < (x-4)^1+3x

           4x        < 1+3x

       x < 1

17. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2^x3-x < 1

       2^x3-x < 1                                

       2^x-3x < 2⁰

       X³-x < 0

       X ( x²-x) < 0

       X ( x+1) (x-1) < 0

       jadi,  x < -1 atau 0 < x < 1}

18. Tentukan himpunan penyelesaian dari 5^2x+1 > 5^x+ 4

       5^2x+1 > 5^x+4                                           

       5^2x.5¹ > 5^x-4 > 0

       (5^x)².5 – (5^x)-4 > 0

       5a²-a-4> 0

       (5a+4) (a-1)

       5a = -4               a= 1

       A = -4/5             5^x = 1

       5^x = 4/5             5^x = 5⁰     x = 0

      jadi Hp x > 0

19. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2^x-2^1-x-1/1-2^x ≤ 0

      2^x-2^1-x-1/1-2^x ≤ 0                                    

      Misal x =2                                               

     2²-2^1-2-1/1-2² = 4-1/2-1/1-4 =          

     2^x-2^1-x = 0 

     x = 1

     1-2^x = 0                                                    

      X = 0

      jadi, {x < 0 atau x > 1}

20. Tentukan himpunan penyelesaian dari 42x+1 > 4x+3

       4a2-a-3 > 0

      (4a+3) (a-1) > 0

      a = -3/4                          

      4x = 3/4                         

      a = 1   

      4x = 1

      X = 0

21. Tentukan himpunan penyelesaian dari 3^x-2y = 3^-4 dan 2^x-y = 16 maka hasil dari x + y =

      2^x-y = 2⁴

       x-2y = -4                                      

       x-y = 4                                           

       -y = -8

        Y = 8

        x-8 = 4

        x = 12

        x + y = 12 + 8 = 20

22. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2a⁵b^-5-1/32a⁹b^-1 =

       (2a⁵b^-5/32a⁹.b^-1)^-1

       (1/16a⁴ b ⁴)^-1

       16a⁴.b⁴

       2⁴.a⁴  b⁴

       (2ab)⁴

23. Tentukan himpunan penyelesaian dari 9^3x-4 = 1/81^2x-5x

      3x-4 = -4x + 10

      3x + 4x = 10 +4

      7x = 14

      X = 2

24. Tentukan himpunan penyelesaian dari 41+2x.34x+1 < 432

       4.4^2x-3^4x+1 < 432

       4.4^2x.3^4x.3 < 432

       12.4^2x3^4x < 432

       4^2x.3^4x < 36

       2^4x . 3^4x < 36

     (2.3)4^x < 36

     6^4x < 6²

     4x < 2

     X < 1/2

25. Tentukan himpunan penyelesaian dari (1/3)^x+2 < (1/3)^x

      3^-x-2 < 3^-x                        

     -x.2 < -x

     -2 < -x+x

     -2 < 0

     Hp { x E R }

26. Diketahui grafik fungsi g(x) = 3. ² log (3x) maka nilai x yang membuat fungsi f bernilai 0 adalah

= Diketahui f(x)=3⋅2log(3x) f(x)=3⋅2log⁡(3x).
Ubah f(x) f(x) menjadi 0, sehingga kita peroleh
3⋅2log(3x)= 02log(3x)= 03x= 203x= 1x=13 3⋅2log⁡(3x)= 02log⁡ (3x)=03x=203x=1x=13

 Jadi, nilai x yang membuat fungsi f bernilai 0 adalah x=13

27. manakah dari fungsi logaritma berikut yg tergolong ke dalam fungsi turun?

a. f(x) = ³ log x           c. f(x) = ⁸ log (x2+4x+4)       e. f(x)= ^1/2 log x +4

b. f(x) =⁵ log (x+5)       d. f(x) = ¹ log x

= Suatu fungsi logaritma yang berbentuk f(x)=alogxf(x)=alog⁡x akan monoton naik (disebut fungsi naik) saat a>1a>1 dan monoton turun (disebut fungsi turun) saat 0<a<10<a<1.
Dari kelima fungsi yang diberikan pada opsi, hanya opsi E yang menunjukkan fungsi logaritma dengan 0<a<10<a<1, yaitu a=0,5a=0,5.
Jadi, f(x)=0,5logx+4f(x)=0,5log⁡x+4 termasuk fungsi turun yang grafiknya sebagai berikut.

Jawaban E

28. Nilai minimum dari f(x) = ² log (x²-2x+9) adalah ….

= Nilai absis fungsi logaritma tersebut (a=2a=2) lebih besar dari 11, sehingga f(x)f(x) minimum tercapai ketika nilai numerus g(x)=x2−2x+9g(x)=x2−2x+9 juga minimum.
Karena g(x)g(x) adalah fungsi kuadrat, maka nilai minimum g(x)g(x) diperoleh ketika x=−b2ax=−b2a dengan a,ba,b masing-masing koefisien x2x2 dan koefisien xx. Kita tuliskan
x=−b2a=−(−2)2(1)=1x=−b2a=−(−2)2(1)=1Ini berarti x=1x=1 membuat g(x)g(x) minimum, begitu juga dengan nilai fungsi logaritma f(x)f(x).
Substitusi x=1x=1 pada f(x)f(x), kita peroleh
f(1)=2log(x2−2x+9)=2log((1)2−2(1)+9)=2 log 8= 3

29. Jika x log 2 – y log 3 + z log 5 =10 maka 2x+8y-3z

= x(log2) - y(log3) + z(log5) = 10

log2ˣ +    = log10¹⁰ +  

log 2ˣ .  = log10¹⁰.    

2ˣ .   =  10¹⁰. 

2ˣ .   .  =   .  .      

x = 10

y = 0

z = 10

maka :

2x + 8y - 3z = 2(10) + 8(0) - 3(10)

                   = 20 + 0 - 30

                  = -10    

30. Jika x dan y memenuhi ² log x ² + ³ log 1/y³ = 4 dan ² log  x + ³ log y ⁴ = 13, maka nilai dari ⁴ log x – ⁹ log y ….

= ²logx² +³logy⁻³ =4
⇒2²logx -3³logy =4
misal ²logx=p, ³logy=q
maka, 2p-3q=4.... (1)
²logx + ³logy⁴=13
⇒²logx + 4³logy=13
⇒p+4q=13...(2)
subtitusikan pers.1 &2
2p-3q=4
2p+8q=26
diperoleh
p=5 ⇒ ²logx=5
q=2 ⇒ ³logy=2
⇒
⁴logx -  log9 = 

31. Diketahui x1 dan x2 adalah akar2 persamaan ² log (4^x+6)= 3+x. nilai dari x1+x2 adalah

= ²log (4ˣ + 6) = 3 + x
4ˣ + 6  = 2³⁺ˣˣ₁
4ˣ  + 6 = 2³. 2ˣ
(2ˣ)² - 8 (2ˣ)  + 6 = 0
misal 2ˣ= a
a² - 8a + 6 = 0, akar akarnya a1 dan a2
a1. a2 = 6
2ˣ₁. 2ˣ₂ = 6
2⁽ˣ₁⁺ˣ₂) = 6
x₁ + x₂ = ²log 6

32. Penyelesaian dari persamaan ^x log (4x+12 = 2 adalah…

= syarat basis:
x>0, dan x tidak sama dgn 1
syarat numerus:
4x+12>0
4x>-12
x>-3
xlog(4x+12) = 2
x^2 = 4x + 12
x^2 - 4x -12 = 0
(x-6)(x+2)=0
x=6 atau x=-2
nilai x yang memenuhi kedua syarat di atas hanya untuk x=6.

33. Nilai x yang memenuhi persamaan log √2_logx +8 = 1 adalah…..

=       log √2logx +8 = 1

        artinya 10 = log √2logx +8 = 1

        => 2logx + 8 = 10²

             2logx + 8 = 100

             2logx        = 100-8

             2logx        = 92

             x = 2⁹²

34. Nilai dari ² log 48 – ² log 3 + ⁵ log 50 – ⁵ log 2…..

= 2log 48 + 5log 50- 2log 3 - 5log 2
= 2 log 48 - 2 log 3 + 5 log 50 - 5 log 2
= 2 log (48/3) + 5 log (50/2)
= 2 log 16 + 5 log 25
= 4 + 2
= 6

35. Diketahui ² log 3 = 1,6 dan ² log 5 = 2,3; nilai dari ²log 125 per 9 ….

= 

36. Nilai x yang memenuhi persamaan 1/2(x-3) = 3/5x-1 adalah....

    Jawab :

    1/2(x-3) = 3/5x-1

    1/2x-3/2 = 3/5x-1

    1/2x-3/5x = -1+3/2

    5x/10-6x/10 = -2/2+3/2

    -x/10 = 1/2

    -x = 1/2.10

    -x = 5

    x = -5

37. Himpunan penyelesaian dari (²log 2x)² – 3 (² log 2x) + 2= 0 adalah….

Jawab :

    ²log2x = p

    p²-3p+2 = 0

    (p-2) (p-1) = 0

    p=2 p=1

    ²log2x = 2

    ²log2x = ²log2²

    2x = 2²

    2x = 4

    x = 2

    ²log2^x = 1

    ²log2^x = ²log2¹

    2x = 2¹

    2x = 2

    x = 1

    Jadi HP = {2,1}

38. Himpunan penyelesaian dari ^a log ² x + 4 ^a log x + 3 = 0 adalah….

Jawab :

    Misalkan = y=^a log x

    y²+4y+3=0

    (y+3) (y+1)

    y=-3 y=-1

    y = -3

    log x =-3

    x = -10³

    x = -1000

    y = -1

    log x = -1

    x = -10

    Jadi HP= {-1000, -10}

39. Himpunan penyelesaian dari ⁵ log (3x+5) > ⁵ log 35 adalah….

= Syarat nilai bilangan pada logaritma 3x + 5 > 0 atau x > -5/3 ..... (1)

3x + 5 < 35

      3x < 30

        x < 10  ....(2)

Jadi dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian -5/3 < x < 10.

40. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ² log (5x-16) < 6 adalah…

= Syarat nilai bilangan pada logaritma:

5x – 16 > 0, maka x > 16/5 .... (1)

Perbandingan nilai pada logaritma

2log (5x – 16) < 2log 26

2log (5x – 16) < 2log 64

         5x – 16 <  64

                5x < 80

                  x < 16 . . . . (2)

Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian 16/5 < x < 16.

 41. Himpunan penyelesaian dari ⁴ log (2x² + 24) > 4 log (x² + 10x) adalah…

= Syarat nilai pada logaritma.

2x² + 24 > 0 (definit positif). Jadi, berlaku untuk setiap x  . . . (1)

x² + 10x > 0, maka x < -10  atau x > 0 . . . . (2)

Perbandingan nilai pada logaritma

(2x² + 24) >  (x² + 10x)

2x² - x² - 10x + 24 > 0

        x² - 10x + 24 > 0

        (x – 4)(x – 6) >0

       x < 4 atau x > 6 ....(3)

Jadi, dari (1), (2), dan (3) diperoleh penyelesaian x < -10 atau x > 6.

42. Nilai x dari pertidaksamaan ^1/2 log x² – ^1/2 log (x+3) > -4 adalah…

=

43. Himpunan penyelesaian dari ^1/2 log (x+3) > ^1/2 log (2x+1) adalah….

Jawab :

    1/2 log (x+3) > 1/2 log (2x+1)

                  x+3 > 2x+1

                 x-2x > 1-3

                     -x > -2

                      x < 2

44. Himpunan penyelesaian dari ⁷ log (x+6) > ⁵ log (x+6) adalah…

Jawab :

    ⁷log(x+6) > ⁵log(x+6)

    ⁷log(x+6) > ⁵log(x+6), x>-6

    ⁷log(x+6)-⁵log(x+6)>0

    ²log(x+6)>0

    log(x+6)>0

    x+6>10⁰

    x+6>1

    x>1-6

    x>-5

45. Himpunan penyelesaian dari ^(2x-5) log (x2+5x) > ^(2x-5) log (4x+12) adalah….

= Syarat nilai pada bilangan 2x - 5 > 0  

Batas ini dibagi menjadi 2, yaitu 0 < 2x - 5 < 1 dan 2x - 5 > 1, sehingga diperoleh batas - batas berikut.

Untuk  0< 2x - 5 < 1 atau 5/2 < x < 3. . . (1) 

Syarat nilai pada logaritma.

x2 + 5x > 0, maka x < -5 atau x > 0 . . . (2)

4x + 12 > 0, maka x > -3  . . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma

(x² + 5x) < (4x + 12)

x² + 5x - 4x - 12 < 0

        x² + x - 12 < 0

    (x + 4)(x - 3) < 0 

       -4 < x < 3   . . . . . (4)

Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu 5/2 < x < 3.

Untuk  2x - 5 > 1 atau  x > 3       . . . (1) 

Syarat nilai pada logaritma.

x² + 5x > 0, maka x < -5 atau x > 0       . . . (2)

4x - 12 > 0, maka x > 3            . . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma

(x² + 5x) > (4x + 12)

x² + 5x - 4x - 12 > 0

         x² + x - 12 > 0

(x + 4)(x - 3) > 0 

x < -4 atau  x > 3        . . . . . (4)

Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu x > 3.

Jika, kedua penyelesaian digabungkan maka diperoleh penyelesaian x > 5/2 dan x < 3.