soal dan pembahasan pts

1) jika vektor a = (1, 2, 3 ) b= ( 5 ,4  ,-1) dan c = (4 ,-1, 1) maka hasil dari operasi vektor a+2b-3c...

    : a + 2b -3c = (1,2,3) + 2(5,4,-1) -3(4,-1,1)

                         = D (-1,13,-2)

2) diketahui |a| =√3 , |b| =1 dan |a-b|= 1 panjang vektor a+b adalah...

     :  |a+b| =2(|a| + |b|²) - |a-b|²

                    = 2[(√3)²+1²]-1²

                    = 2 . (3+1)-1 =7

         |a+b| = C √7

3)diketahui a = 2i - 3j + 4k dan b = 5j +5k. Nilai a.b adalah

    : a.b = (2i-3j+4k) . (0i+5j+5k)

             = (2i.0i)-(3j.5j)+(4k.5k)

             =  -15j +20k

             = -15+20

             = 5 (b)

4) diketahui |a-b| = 2√19 jika |a| =4 dan |b| =6 maka |a+b| ...

      : (a+b) = (a)²+(b)² + 2a.b

                   = |a|² + |b|² + 2 |a| |b| cos ∅

        (2√19)² =4²+6²2.(4)(6) cos ∅

    Cos ∅ =1/2

           ∅ =60°

(a-b)² = (a)²+(b)²-2a.b

           = 4²+6²-2(4)(6)(1/2)

(a-b) =√28

         = 2√7 (a)

5) diketahui vektor a = 2i - 3j +k , b =pi+2j-k dan c = i-j+3k. Jika b tegak lurus terhadap vektor C maka vektor a-b-c...

     : vektor = a-b-c

          = (2,-3,1) - (5,2,-1) - (1,-1,3)

          = (2-5-1, -3-2-(-1), 1-(-1)-3)

          = (-4,-4,-1)

          = -4i -4j -k (c)

6) jika sudut antar vektor a = i + √2 j + p k dan vektor b = i-√2 j + p k adalah 60° maka p adalah..

    : a.b = |a| |b| cos 60°

      ( 1 √2 p ) (1-√2p) = √1²+(√2)²+p² √1²+(-√2)²+p² (1/2)

       1-2 +p = √1+2+p² √1+2+p² (1/2)

        2(-1+p²) = 1+2+p²

        -2+2p² = 3+p²

        P=3+2

        P ±√5 (d)

7) titik A(3,2,-1) B(1,-2,1) dan C(7,p,-1,-5) segaris untuk nilai p

     : (7 , p-1 ,-5) - (3,2,-1) =k [(1,-2,1) - (3,2,-1)]

                               = (4, p-3_-4)= k (-2,-4,2)

        maka berlaku  4= k.(-2) = k=-2

                                  P-3=k (-4) = (-2)(-4) = 8

                              = p-3 =8

                                   p = 8+3

                                   p = 11 (d)

8) Diketahui titik A (3,1,-4), B (3,-4,6) dan C (-1,5,4). Titik p membagi AB sehingga AP:PB = 3:2 maka  vector yg diwakili oleh PC adalah

     : titik P = 3b+2a / 3+2

                  = 3(3,-4,6) + 2(3,1,-4) / 5

                  = (9,-12,18)+(6,2,-8) / 5

                  = (15,-10,10) / 5 = (3,-2,2)

 Sehingga

           PC = PB+BC = (b-p) + (c-b)

                 = ([3,-4,6] - [3,-2,2]) + ([-1,5,4]-[3,-4,6])

                = [0,-2,4] + [-4,9,-2] = [-4,7,2] (e)

9) Panjang proyeksi orthogonal vector a (-2,8,4) pada vector b (0,p,4) adalah. Nilai p yang tepat adalah

     : menggunakan rumus proyeksi orthagonal

      a.b / 1b1 = 8

      8p + 16 √p²+16 = 8

      8p +16 = 8√p²+16

( 8p+16)² = (8√p²+16)²

  64p²+256 p + 256 = 64 p² +1.024

    256 p = 1.024 -256

   256 p = 768

      P = 768 / 256

     P = 3 (c)

10) Diberikan vector a = (p.2.-1), b = (4,-3,6) dan c =(2,-1,3). Jika vector a tegak lurus vector b, maka hasil dari (a-b) . (2c) adalah…

       : a.b =0 (p,2,-1) . (4,-3,6)

             = 0 = 4p +2(-3)-1.6

                        P = 3

      ( a-2b).(3c) =[ (3,2,-1) -2(4,-3,6). (3(2,-1,3)]

                           = (-5,8,-13). (6,-3,9)

                          = -5.6+8(-3)+(-13).9

                           = -171 (e)

11) Diketahui titik A (1,2,3) b (3,3,1) dan c(7,5,-3). Jika titik a,b,c segaris maka perbandingan AB:BC adalah….

      :  AB =√(3-1)²+(3-2)²+(1-3)²

             = √2²+1²+(-2)²

             = √4+1+4

             =√9 =3

     BC = √(7-3)²+(5-3)²+(-3-1)²

           =√4²+2²+(-4)²

           = √36 = 6

   AB / BC = 3/6 =½

     AB : BC = 1:2 (A)

12) Jika vector tak nol a dan b memenuhi |a+b| = |a-b| maka vector a dan b saling….

       : |a+b| = |a-b|

       = |a|²+|b|² + 2a.b =|a|² + |b|² - 2a.b

       = 4a.b = 0 =a.b =0

Sehingga vektor a dan b saling membentuk sudut 90˚ (a)

13) Diketahui titik a (2,7,8) b(-1,1,-1) c(0,3,2). Jika u mewakili ab dan v mewakili bc, maka proyeksi orthogonal vector u pada v adalah….

       : c = [ u.v / |v|²] v = [-42/14] (1,2,3)

         = -3 (1,2,3) = (-3,-6,-9)

         = -3i-6j-9k (a)

14) Jika diketahui vector a =2i – 3j + 6k dan vector b = I = pj – k saling tegak lurus, maka nilai p adalah…

        : a . b = 0

         (2,-3,6) . (1,p,-1) = 0

        2+(-3p) + (-6) = 0

       -3p -4 =0

        P = -4/3 (b)

15) Diketahui vector a = 5i + j + 7k dan b = 3i – j + 2k. proyeksi orthogonal vector a pada b adalah….

       :  (a.b/b.b). b = (15-1+14/9+1+4) . 3i-j+2k

                           = (2). (3i-j+2k)

                           = 6i-2j+4k (b)

16) Diketahui vector a = (3,-2,1) dan b=(2,y,2) jika z adalah projeksi a terhadap dan |z| = 1/2|b| maka nilai y yg memenuhi adalah…

       : (3,-2,1) (2,y,2) / 4+4+y² = ½ √4+4+y²

       (6-2y+2)2=8+y²

        16-4y=8+y²

        Y²+4y-8=0

     y = 4±√16+32 / 2 = -2 +2√3 (c)

17)  Misal vector u = 9i + bj + ak dan v=ai + aj – bk. Sudut antara vector u dan v adalah ø dengan cos ø = 6/11. Proeksi vector u pada v adalah p = 4i + 4j – 2k. nilai a adalah….

       : 2√2 (c)

18) Jika vector a= (x+1)I + xj , b =2xi + (3x+1)j, dan p adalah ptoyeksi vector b ke a, maka |p| ≤ 2|a| untuk…

       : |p| = a.b / |a| = (x+1 , x ) . (2x ,3x +1) / √(x+1)²+x²  = |p|=5x²+3x / √2x²+2x+1

        |p| ≤ 2|a|

        = 5x²+3x / √2x²+2x+1 ≤ 2 √2x²+2x+1

        = 5x²+3x ≤  4x² + 4x + 2

        = x²-x-2 ≤ 0

        = (x-2) (x+1) = 0

         -1 ≤ x ≤ 2 (c)

19) Vektor u = 2i + j + 2k dan vector v = 4i + 2j + 4k adalah vector searah. Sebab nilai u.v = 18

        (c) pernyataan benar, alasan salah

20) Segitiga ABC dengan koordinat titik sudut a(4,7,0) dan c(1,9,0) merupakan segitiga siku siku sebab nilai AB . AC > 0

        (a) pernyataan benar, alasan benar, dan mempunyai hubungan sebab akibat